1.1.9 Durchdringungen
Übersicht:
Allgemeines
Durchdringen sich Körper mit ebenen Flächen, so entstehen als Durchdringungsfiguren gerade Linien, wenn aber ein oder beide Körper gekrümmte Flächen haben, dann entstehen Kurven.
Bei Körperdurchdringungen legt man zweckmäßigerweise nur Hilfsebenen bzw. Hilfsschnitte, die die Körper möglichst in geradlinig begrenzten Flächen oder Kreisflächen schneiden. Ist das nicht möglich, so müssen die entstehenden Schnittkurven wie Ellipse, Parabel oder Hyperbel besonders konstruiert werden.
Die Konstruktionen von Körperdurchdringungen lassen sich im Allgemeinen auf folgende Grundkonstruktionen zurückführen:
Eine Kante oder Mantellinie durchstößt die ebene oder gekrümmte Fläche eines Körpers.
Durchdringungen von Prismen
Durchdringen sich ebene Körper, so entstehen an den zusammenstoßenden Oberflächen gerade Durchdringungslinien. Die Durchstoßpunkte von Körperkanten mit Körperflächen sind Endpunkte der Durchdringungsgeraden.
Es werden zunächst die Ansichten, in denen die Durchdringungslinien mit den Körperkanten zusammenfallen, z. B. im linken Bild (zum Vergrößern anklicken) die Draufsicht und die Seitenansicht, gezeichnet. Dann ermittelt man die senkrechten Kanten der Vorderansicht aus der Draufsicht und die waagrechten aus der Seitenansicht. Danach sind die Durchstoßpunkte aus der Draufsicht in die Vorderansicht zu projizieren. Die Verbindung dieser Durchstoßpunkte ergibt die Durchdringungsgerade: Kantenverfahren.
Schiefwinklige Durchdringung
Das linke Bild (zum Vergrößern anklicken) zeigt die Durchdringung einer Vierkant- und Dreikantsäule, deren Körperachsen schiefwinklig zueinander liegen. Der besseren Übersicht wegen tragen die Durchstoßpunkte Ziffern und die Körperkanten Buchstaben. Die Durchstoßpunkte 1, 3, 5, 6, 7, 8 und 9 findet man aus der Draufsicht. Da die anderen Durchstoßpunkte 2, 4 und 10 aus keiner der Ansichten zu bestimmen sind, werden Hilfsschnitte gelegt, und zwar für 4 und 10 ein Schnitt S1 parallel zur Projektionsebene der Vorderansicht durch a-c. Dieser Hilfsschnitt erscheint in der Draufsicht als Gerade und wird von hier in die Vorderansicht gelotet. Dort, wo sicht die Umrisslinien der Hilfsschnittfläche beider Körper treffen, liegen die Durchstoßpunkte 4 und 10. Den Durchstoßpunkt 2 findet man mithilfe eines durch b gelegten Hilfsschnittes S2. Aus der Vorderansicht und Draufsicht werden die Durchstoßpunkte in die Seitenansicht übertragen.
Pyramidendurchdringungen
Das linke Bild (zum Vergrößern anklicken) zeigt eine rechtwinklige Durchdringung einer Pyramide mit einer Quadratsäule.
Pyramidendurchdringungen nach dem Hilfsebenenverfahren
Schräge Durchdringung Pyramide - Prisma
Das linke Bild (zum Vergrößern anklicken) zeigt eine schräge Durchdringung einer Pyramide mit einem Prisma.
Die Durchstoßpunkte der Kanten des Dreikantprismas durch die Pyramidenflächen, die sich nicht aus den Ansichten erkennen lassen, werden durch Hilfsschnitte parallel zur Projektionsebene der Vorderansicht, z. B. S1 und S2, ermittelt. Dort, wo sich in der Vorderansicht die Umrisslinien der Hilfsschnittflächen beider Körper, die von S2 ist eingezeichnet, schneiden, liegen die gesuchten Durchstoßpunkte. Diese werden in die Draufsicht und Seitenansicht übertragen. Die Konstruktion entspricht in etwa der im Abschnitt "Schiefwinklige Durchdringung von Prismen".
Zylinderdurchdringungen
Typische rechtwinklige Zylinderdurchdringungen
Verschieden große Vollzylinder ergeben Kurven (Bild zum Vergrößern anklicken).
Zwei gleich große Vollzylinder ergeben ein Diagonalkreuz (Bild zum Vergrößern anklicken).
Zwei Bohrungen mit verschiedenem Durchmesser ergeben Kurven (Bild zum Vergrößern anklicken).
Zwei Bohrungen mit gleichem Durchmesser ergeben ein Diagonalkreuz (Bild zum Vergrößern anklicken).
Zylinderdurchdringung nach dem Mantellinienverfahren
Das linke Bild (zum Vergrößern anklicken) zeigt die Durchdringung zweier Zylinder verschiedener Durchmesser. Der Umfang des kleinen Zylinders wird in z. B. 12 gleiche Teile geteilt, die zugehörigen Mantellinien werden in beiden Ansichten eingezeichnet. Die Punkte der Durchdringungskurve werden als Durchstoßpunkte der Mantellinien des kleinen mit der Fläche des großen Zylinders ermittelt. Dabei denkt man sich Hilfsschnittebenen durch die Mantellinien senkrecht zur Projektionsebene der Draufsicht gelegt. Die Schnittpunkte der Mantellinien des kleinen Zylinders mit der als Kreis erscheinenden Fläche des großen Zylinders werden aus der Draufsicht auf die zugehörigen Mantellinien der Vorderansicht projiziert. Die Verbindung der so gefundenen Punkte ergibt die Durchdringungskurve.
Rechtwinklige Durchdringung eines Zylinders und eines Dreikantprismas nach dem Hilfsebenenverfahren
Einzelne Punkte der Durchdringungskurven im linken Bild (zum Vergrößern anklicken) werden durch Hilfsschnitte, z. B. parallel zur Projektionsebene der Vorderansicht, ermittelt. Diese erscheinen in der Draufsicht und Seitenansicht als Geraden und in der Vorderansicht als Hilfsschnittflächen. Die Hilfsschnittfläche S1 ist eingezeichnet.
Hilfskugelverfahren
Das Hilfskugelverfahren vereinfacht die Konstruktion der Durchdringungskurven von Drehkörpern.
Nach dem Hilfskugelverfahren werden die Durchdringungskurven von Drehkörpern vorteilhaft konstruiert, wenn sich deren Achsen schneiden und dabei in derselben Ebene liegen. Zur Ermittlung der Durchdringungskurven benötigt man hierbei nur eine Ansicht.
Um die Schnittpunkte der Drehkörperachsen werden Kugeln beliebiger Durchmesser gelegt. Jede Hilfskugel schneidet die Oberfläche der Drehkörper in Kreisen, die in der Ansicht als Durchmesser erscheinen. Die Schnittpunkte einander zugehöriger Durchmessergeraden sind Punkte der Durchdringungskurve. Berührt eine Hilfskugel die Mantellinien beider Drehkörper, so erscheinen die Durchdringungskurven als geraden (siehe linkes Bild - zum Vergrößern anklicken).
Um die Schnittpunkte M1 und M2 der Zylinderachsen werden Kreise beliebiger Durchmesser gezogen, die die Umrisslinien der Zylinder schneiden, siehe linkes Bild (zum Vergrößern anklicken). Daraufhin zeichnet man die zugehörigen Durchmesser ein. Die Schnittpunkte entsprechender Geraden sind Punkte der Durchdringungskurve.
Schiefwinklige Durchdringung zweier Zylinder mit versetzten Achsen nach dem Mantellinienverfahren
Die Durchdringungskurve im linken Bild (zum Vergrößern anklicken) wird ebenso konstruiert wie die im Abschnitt "Zylinderdurchdringung nach dem Mantellinienverfahren".
Durchdringung von Zylindern mit versetzten und einer räumlich geneigten Achse
Um die Durchdringung von zwei Zylindern mit versetzten Achsen, wobei eine Achse räumlich geneigt ist, konstruieren zu können, wird zweckmäßigerweise die Durchdringung in eine neue Projektionsebene, auch Hilfsriss genannt, projiziert. Diese steht senkrecht auf der Projektionsebene der Draufsicht und verläuft parallel zur räumlich geneigten Zylinderachse. Die neue Projektionsebene wird in die Ebene der Draufsicht umgeklappt. Alle gesuchten Abmessungen erscheinen hier in wahrer Größe. Die Durchdringung wird in der umgeklappten Projektionsebene konstruiert und von hier aus in die Ebene der Draufsicht und Vorderansicht gelotet. Die Konstruktion der Ellipsen erfolgt ebenfalls mithilfe der Umklappung.
Zylinderdurchdringungen mit versetzten Achsen, wobei eine Achse räumlich geneigt ist (Bild zum Vergrößern anklicken).
Kegeldurchdringungen
Kegeldurchdringungen mit sich schneidenden Achsen werden zweckmäßigerweise nach dem Hilfskugelverfahren konstruiert.
Im linken Bild (zum Vergrößern anklicken) ist in der Vorderansicht die Durchdringungskurve nach dem Hilfskugelverfahren konstruiert. Die Hilfskugeln schneiden die Kegeloberflächen in Kreisen, die sich in der Draufsicht als Kreise bzw. als Strecken abbilden, deren Schnittpunkte Kurvenpunkte ergeben. Aus der Vorderansicht und Draufsicht wird die Durchdringungskurve der Seitenansicht ermittelt.
Berührt eine Hilfskugel die Mantellinien beider Drehkörper, so erscheinen die Durchdringungslinien als Geraden (Bild zum Vergrößern anklicken).
Schiefwinklige Durchdringung zweier Kegel, deren Achsen sich schneiden. Hilfskugelkonstruktion
Hilfsebenen bzw. Hilfsschnitte ergeben eine zweite Möglichkeit der Kurvenkonstruktion. Diese ist anzuwenden, wenn die Kegelachsen sich nicht schneiden, siehe linkes Bild (zum Vergrößern anklicken).
Bei der Durchdringung Kegel - Zylinder mit versetzten Achsen, linkes Bild (zum Vergrößern anklicken), sind die Hilfsebenen (Scheitelebenen) so durch die Kegelspitze zu legen, dass die entstehenden Hilfsschnittflächen am Kegel Dreiecke und am Zylinder Rechtecke ergeben. Die Schnittpunkte der Umgrenzungslinien entsprechender Hilfsschnittflächen sind Punkte der Durchdringungskurven.
Kugeldurchdringungen
Bei der zentrischen Durchdringung einer Kugel mit einem Zylinder oder Kegel ist die Durchdringungskurve in der Vorderansicht eine Gerade, siehe linke Bilder (zum Vergrößern anklicken).
a) Hilfsebenenverfahren
Es werden Hilfsebenen bzw. Hilfsschnitte parallel zur Projektionsebene der Seitenansicht gelegt, z. B. S1. Diese schneiden den Kegel und die Kugel in Kreisflächen. Dort, wo sich die beiden Kreisbogen der Hilfsschnittfläche schneiden, liegen Punkte der Durchdringungskurve. Aus der Seitenansicht werden diese Punkte in die Vorderansicht und Draufsicht übertragen. Der Hilfsschnitt S5 durch die Kegelachse ergibt in der Draufsicht und Seitenansicht jeweils die beiden äußersten Punkte der Durchdringungskurve (siehe linkes Bild - zum Vergrößern anklicken).
b) Hilfskugelverfahren
Die Hilfskugeln, z. B. H1, sind um den Schnittpunkt A der Kegelachse mit der senkrechten Kugelachse zu legen. Diese schneiden beide Körper in Kreisen, die sich in der Vorderansicht als Strecken, z. B. g und f, abbilden. Die Schnittpunkte der Strecken sind Punkte der Durchdringungskurve (siehe linkes Bild - zum Vergrößern anklicken).
Ringkörperdurchdringungen
Bei der Konstruktion der Durchdringungskurven eines Rohrkrümmers mit kegeligem Abzweig nach dem Hilfskugelverfahren sind zuerst die Mittelpunkte der Hilfskugeln zu bestimmen.
Es wird eine Gerade g durch den Mittelpunkt des Rohrkrümmers gelegt. Im Schnittpunkt 1 der Geraden g legt man an den Mittenkreis des Rohrkrümmers eine Tangente t. Diese schneidet die Kegelachse im Mittelpunkt M1 der Hilfskugel, deren Radius durch die Schnittpunkte 2 und 3 der Geraden g mit den Mantellinien des Rohrkrümmers festgelegt wird. Der Schnittpunkt 4 der Geraden g mit dem Durchmesser d ist ein Punkt der Durchdringungskurve. Zur Bestimmung weiterer Durchdringungspunkte ist eine Anzahl von Geraden durch den Mittelpunkt des Rohrkrümmers zu legen (siehe linkes Bild - zum Vergrößern anklicken).